Задача Монти Холла

Статья на хабре http://habrahabr.ru/blogs/arbeit/101695/ побудила меня проверить, действительно ли это так.

Суть проблемы Монти Холла

В телевикторине участники должны выбрать одну из трех дверей. За одной дверью находится машина, за двумя другими нет ничего. Участник, выбирает дверь, а ведущий, которому известно, что находится за каждой из дверей, открывает одну из оставшихся, конечно пустышку. Затем он говорит участнику, — «Вы смените дверь или выберете другую?». Вопрос, который мы рассмотрим в том, выгодно ли участнику сменить дверь или выгодно оставить свой выбор.

Правильный ответ: надо сменить дверь, тогда вероятность выигрыша вырастет в два раза.

Я написал небольшой php код, чтобы проверить это. Действительно вероятность выигрыша растет в два раза, как это ни странно.

Вот результаты работы скрипта

Win choosen probability = 0.33504
Win rechoosen probability = 0.66496

Вот код:

<?php

$tests = 100000;// число испытаний

mt_srand(make_seed());
$wins_choosen = 0; // число выигрышей с первым выбором двери
$wins_rechoosen = 0; // число выигрышей с выбором второй двери
for ($i = 0; $i < $tests; $i++) {
    $win_number = mt_rand(1,3);
    $choosen_number = mt_rand(1,3);
    $rechoosen_number = rechoosen_number($win_number, $choosen_number);
    if ($win_number == $choosen_number) {
        $wins_choosen++;
    }
    if ($win_number == $rechoosen_number) {
        $wins_rechoosen++;
    }    

}

echo "Win choosen probability = ".($wins_choosen / $tests)."\n";
echo "Win rechoosen probability = ".($wins_rechoosen / $tests)."\n";

//-------------------
// выбор другой двери
function rechoosen_number($win_number, $choosen_number) {
    $all = array(1,2,3);
    if ($win_number == $choosen_number) {
        $opened_number_arr = array_diff($all, array($win_number));
        $opened_number_arr = explode(',', join(',', $opened_number_arr));
        $opened_number = $opened_number_arr[mt_rand(0,1)];
    } else {
        $opened_number_arr = array_diff($all, array($win_number, $choosen_number));
        $opened_number_arr = explode(',', join(',', $opened_number_arr));
        $opened_number = $opened_number_arr[0];
    }

    $rechoose_arr = array_diff($all, array($choosen_number, $opened_number));
    $rechoose_arr = explode(',', join(',', $rechoose_arr));
    return $rechoose_arr[0];
}

function make_seed()
{
  list($usec, $sec) = explode(' ', microtime());
  return (float) $sec + ((float) $usec * 100000);
}

Но я так пока и не понял почему.

P.S.
Подумав пол ночи, я даже понял, почему удваивается вероятность выигрыша.
Итак если мы выбираем одну комнату и не меняем ее, то вероятность 1/3, то есть в одной из трех комнат есть приз.
Если мы меняем комнату, то может быть два варианта
1) мы сначала угадали правильную комнату и потом поменяли ее — вероятность этого как и раньше 1/3
2) мы сначала угадали не правильную комнату и потом поменяли ее — вероятность этого как и раньше 2/3, но в результате мы выигрываем, а не проигрываем как при простом выборе.

То есть при смене комнаты вам для выигрыша надо угадать неправильную комнату, а вероятность этого в два раза больше.